Les règles fondamentales
La règle constante $\frac{d}{dx}(c) = 0$ et la règle identité $\frac{d}{dx}(x) = 1$ découlent de la réalité géométrique selon laquelle une ligne horizontale a une pente nulle et une ligne à 45 degrés a une pente constante de un. À partir de là, nous passons à la règle générale des puissances.
Si $n$ est un nombre réel quelconque et $f(x) = x^n$, alors $f'(x) = nx^{n-1}$.
La règle générale des puissances $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ est vérifiée pour les entiers en utilisant le développement $x^n - a^n = (x - a)(x^{n-1} + x^{n-2}a + \dots + a^{n-1})$ ou le théorème binomial pour la limite :
$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^n - x^n}{h}$$
Linéarité de la dérivée
La dérivation est une opération linéaire. Cela signifie que la dérivée respecte à la fois l'addition et la multiplication scalaire :
- Règle de somme : $(f + g)' = f' + g'$
- Règle de différence : $(f - g)' = f' - g'$
- Règle du multiple constant : $(cf)' = cf'$
Exemple : Projet du montagnes russes
Les ingénieurs doivent assurer des transitions fluides entre les sections. Si une portion de la voie est modélisée par un arc parabolique $f(x) = x^2$, la règle des puissances indique que la pente en tout point est $2x$. Pour relier cette portion à une droite $L_1$ au point de transition $P$, la dérivée de la parabole doit être égale à la pente de $L_1$ afin d'éviter un « tremblement » ou une discontinuité dans le parcours du manège.